3.1 Einleitung
Die CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-Finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die konkreten 2D-Finite Elemente eingebettet, sondern ausdrücklich modelliert und mit diesen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand berücksichtigt.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]
Modelliert werden können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als zugeschnittenes Ende bezeichnet). Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Auflager so definiert werden, dass sich eine (äußerlich) isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Struktur ergibt. Die Lastübertragung an den zugeschnittenen Trägerenden erfolgt über eine spezielle Saint-Venant-Übertragungszone (beschrieben in Abschnitt 3.3), die eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Detailbereich gewährleistet.
3.2 Auflager und Komponenten zur Lastübertragung
Zur Modellierung der meisten Situationen während des Konstruktionsprozesses stehen in der CSFM viele Auflagertypen (Abb. 9) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 10) zur Verfügung.
3.2.1 Auflager
Das Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass die Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Option ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 9a), das die Last an der Bauteilkante gleichmäßig über die festgelegte Breite verteilt.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Various types of supports:}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]
Eine Bereichslagerung dagegen (Abb. 9d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten wirksamen Radius platziert werden. Sie wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskäfig um die Bereichslagerung herum zu definieren.
Für die genauere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Optionen für Punktauflager. Zum einen gibt es ein Punktauflager mit einer Lagerplatte mit definierter Breite und Dicke (Abb. 9b). Das Material der Lagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Lagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zum anderen steht eine hängende Lagerung zur Verfügung (Abb. 9e), mit der Transportanker oder Transportbolzen modelliert werden können.
Das Linienauflager (Abb. 9c) kann an einer Kante (durch Angabe ihrer Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Ebenso ist es möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten festzulegen (Auflager bei Druck/Zug oder nur bei Druck).
3.2.2 Komponenten zur Lastübertragung
Das Einbringen von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Lagerplatte (Abb. 10a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last über eine Stahlplatte mit festgelegter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt. Bereichslasten (Abb. 10b und Abb. 11) werden mit einem bestimmten wirksamen Radius im Beton platziert und durch starre Elemente mit den Knoten benachbarter Bewehrungsstäbe verbunden.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Various types of load transfer components:}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]
Transportanker oder Transportdübel können durch eine Aufhängung modelliert werden (Abb. 10c). Der Anwender kann eine teilbelastete Fläche (Abb. 10d) verwenden, die eine Erhöhung der Tragfähigkeit von Druckbeton nach Eurocode ermöglicht (diese Komponente der Lastübertragung kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch durch Linienlasten an den Kanten belastet werden, durch allgemeine Polylinien oder durch Flächenlasten, die z.B. das Eigengewicht darstellen (Das bei der Analyse nicht automatisch berücksichtigt wird).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars; (c) load transferred through concrete.}}}\]
3.3 Lastübertragung an zugeschnittenen Trägerenenden
In vielen Fällen müssen nur einige Details (Teile) eines Bauteils modelliert werden, z.B. Trägerstütze, Öffnung in der Trägermitte usw. Dieser Ansatz kann zu Auflagerkonfigurationen führen, die in IDEA StatiCa Detail instabil, aber zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Auflager). In solchen Fällen ist es jedoch auch erforderlich, den Abschnitt zu modellieren, der die Verbindung zum angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen an diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. beim Modellieren der Auflager von Trägern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.
Zwischen dem B-Bereich und dem analysierten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übertragungszone erstellt, um eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Bereich sicherzustellen. Die Breite der Übertragungszone wird als die Hälfte der Abschnittstiefe ermittelt. Da das einzige Ziel der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine angemessene Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und keine Stop-Kriterien werden hier berücksichtigt.
Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das zugeschnittene Trägerende darstellt, wird als starr modelliert, d.h. es kann sich drehen, muss jedoch eben liegen. Dies geschieht durch Verbinden aller FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten in der Trägheitsmitte des Abschnitts unter Verwendung eines Starrkörperelements (RBE2). Die Schnittgrößen des Elements können dann auf diesen Knoten angewendet werden, wie in Abb. 12.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]
3.4 Geometrische Bearbeitung von Querschnitten
Bei Vouten-Geometrien wird die Breite der zur Modellierung der Voute verwendeten Wandelemente im Vergleich zur ursprünglichen Breite verringert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies basiert auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem Winkel von 45 ° von der Wand ausdehnen würde (siehe Abb. 13), so dass die zuvor erwähnte reduzierte Breite die maximale Breite wäre, die Lasten übertragen kann.
Beachten Sie, dass sich die in der CSFM implementierte Methode zur Bestimmung des wirksamen Flansches von der in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird der auf Eurocode basierende, wirksame Breitenflansch deutlich von den Spannweiten und Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]
Bei in horizontaler Ebene liegenden Vouten (Abb. 14) ist jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b) FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]
3.5 Finite-Elemente-Typen
Das nichtlineare FEA-Modell wird durch verschiedene Typen von Finite-Elemente erzeugt, die zum Modellieren von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mithilfe von Mehrpunktkopplungen (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, in Bezug zum Beton, relative Position einnehmen. Soll die Überprüfung der Verankerungslänge berechnet werden, werden Verbund- und Federelemente für das Verankerungsende zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]
3.5.1 Beton
Beton wird unter Verwendung der viereckigen und dreieckigen Schalenelemente CQUAD4 und CTRIA3 modelliert; diese Elemente können durch vier bzw. drei Knoten definiert sein. Es wird angenommen, dass in diesen Elementen nur ebene Spannungen vorhanden sind, d.h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt
Jedes Element hat vier oder drei Integrationspunkte, die ca. 1/4 seiner Größe haben. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α1, α3 berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σc1, σc3 und die Steifigkeiten E1, E2 gemäß dem festgelegten Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Abb. 2 ausgewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Auswirkung der Druckentfestigung das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung gekoppelt wird.
3.5.2 Bewehrung
Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stabelemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifheit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbundelementen“ verbunden, die entwickelt wurden, um das Gleitverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend durch MPC-Elemente (Multi-Point Constraint) mit dem Netz, das den Beton darstellt, verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.
3.5.3 Überprüfung der Verankerungslänge: Verbundelemente
Die Überprüfung der Verankerungslänge erfolgt durch Implementieren der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ „Verbund“ entwickelt.
Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4): Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine Schersteifigkeit ungleich Null zwischen den beiden oberen und zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die Beton darstellen.
Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τb als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und unteren Knoten, δu, beschrieben, siehe Abb. 16.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]
Der elastische Steifigkeitsmodul des Verbund-Schlupf-Verhältnisses Gb ist wie folgt definiert:
\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]
wo:
kg - Koeffizient abhängig von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig kg = 0.2)
Ec – E-Modul des Betons, angenommen als Ecm
Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes
Zur Überprüfung der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte der finalen Verbundschubspannung fbd verwendet, die in den jeweils ausgewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 (2015) oder ACI 318-04 angegeben sind. Die Wiederverfestigung des plastischen Zweigs wird standardmäßig mit Gb/105 berechnet.
3.5.4 Verifizierung der Verankerungslänge: Federelemente
Die Einstellung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d.h. Biegungen, Haken, Schlaufen…), die die Vorschriften der Bemessungsnormen erfüllen, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (lb,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (lb) wird dann wie folgt berechnet:
\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]
Die verfügbaren Verankerungstypen in der CSFM umfassen einen geraden Stab (d.h. Keine Reduzierung des Ankerendes), eine Biegung, einen Haken, eine Schlaufe, einen geschweißten Querstab, einen perfekten Verbund und einen durchgehenden Stab. Diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungskoeffizienten β in Abb. 17 und für Längsbewehrung und in Abb. 18 für Bügel dargestellt. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1. Es ist zu beachten, dass die CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen nur drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Verringerung der Verankerungslänge, (ii) eine Verringerung der Verankerungslänge um 30% bei normaler Verankerung und (iii) perfekter Verbund.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]
Die beabsichtigte Reduzierung von lb,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende bei einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, der durch den Koeffizienten der Verankerungsreduktion gegeben ist, wie in Abb. 19a gezeigt.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]
Die Verringerung der Verankerungslänge ist im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende (Abb. 15) enthalten, das durch das in Abb. 19b dargestellte Werkstoffmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (Fau), ist definiert durch:
\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]
wo:
β – Verankerungsfaktor, basierend auf dem Verankerungstyp
As – Querschnitt des Bewehrungsstabes
fyd – Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.
3.6 Vernetzung
Die im vorherigen Kapitel beschriebenen finiten Elemente werden intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine erfahrene Interaktion durch den Anwender erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.
3.6.1 Beton
Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Von der Anwendung wird eine empfohlene Elementgröße automatisch, basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabes, berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass mindestens 4 Elemente in dünnen Teilen der Struktur. wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert reicht jedoch aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.
3.6.2 Bewehrung
Die Bewehrung ist in Elemente unterteilt, die in etwa der Länge der Größe der Betonelemente entsprechen. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze erzeugt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.
3.6.3 Lagerplatten
Hilfsbauteile, wie Lagerplatten, sind unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet. Die Knoten des Netzes für die Lagerplatte werden dann unter Verwendung von Interpolationskopplungselementen (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.
3.6.4 Lasten und Auflager
Bereichslasten und Bereichslager werden nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 dargestellt; daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]
Linienauflager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen, basierend auf der festgelegten Breite oder dem festgelegten wirksamen Radius, mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist anti- proportional zum Abstand vom Auflager- oder Lastimpuls.
3.7 Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle
Zur Lösung eines nichtlinearen FEM Problems wird ein vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus verwendet.The implementation is almost identical to the one presented in.
Generell konvergiert der NR-Algorithmus nicht oft, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt angewendet wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last nacheinander in mehreren Steigerungsstufen anzuwenden und das Ergebnis des vorherigen Laststufe zu verwenden, um die Newton-Lösung einer nachfolgenden Laststufe zu starten. Zu diesem Zweck wurde über dem Newton-Raphson ein Algorithmus zur Laststeuerung implementiert. Für den Fall, dass die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird die aktuelle Laststufe auf die Hälfte ihres Werts reduziert und die NR-Iterationen werden wiederholt.
Ein weiterer Zweck des Algorithmus zur Laststeuerung besteht darin, die kritische Last zu ermitteln, die mit bestimmten „Stop-Kriterien“ übereinstimmt - insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit der Halbierungsmethode ermittelt. Wird das Stop-Kriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse der letzten Laststufe verworfen und eine neue Steife von der halben Größe der vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last, mit einer bestimmten Fehlertoleranz, ermittelt ist.
Für Beton wurde das Stop-Kriterium standardmäßig auf eine Druckspannung von 5% (d.h. um eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung des Betons) und eine Zugspannung von 7% an den Integrationspunkten der Schalenelemente eingestellt. Unter Zug wurde der Wert so eingestellt, dass zuerst die Grenzdehnung in der Bewehrung erreicht werden kann, die normalerweise bei ca. 5% liegt, ohne die Zugversteifung zu berücksichtigen. Bei Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen ausgewählt, die groß genug sind, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme bei der numerischen Stabilität zu verursachen.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]
Für Bewehrung wird in Bezug auf Spannungen das Stop-Kriterium definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Zugkriterium der Zugfestigkeit der Bewehrung, die den Sicherheitskoeffizienten berücksichtigt.
Das Stop-Kriterium in Verbund- und Verankerungselementen ist α · δumax, wobei δumax der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.
3.8 Darstellung der Ergebnisse
Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da eine Darstellung der Daten auf diese Weise jedoch nicht praktikabel ist, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie beispielsweise der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an auf Druck belasteten Bauteilkanten lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Tiefe der Druckzone ähnlich ist.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Concrete finite element with integration points and nodes: presentation of the results for concrete in nodes and}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finite elements.}}}\]
Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z.B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente wie Elemente von Lagerplatten werden nur Verformungen dargestellt.