Geometricky a materiálově nelineární analýza s imperfekcemi (GMNIA) nosníků v ohybu

1. Cíl

Cílem tohoto článku je ověření modulu GMNIA (geometricky a materiálově nelineární analýza s imperfekcemi) v aplikaci IDEA Member. Výsledné únosnosti z aplikace IDEA Member jsou porovnány s analytickým řešením podle EN 1993-1-1 [1] pro nosníky namáhané ohybem.

2. Popis modelu

K ověření modulu GMNIA bylo analyzováno celkem 18 jednotlivých případů. Všechny sdílejí stejný průřez IPE 240 a stejnou ocel jakosti S 235. Byly zkoumány tři různé zatěžovací stavy (A – koncové momenty, B – síla uprostřed, C – spojité zatížení). Bylo ověřeno šest hodnot poměrné štíhlosti v rozsahu od 0,6 do 1,6.

Obr. 1: Různé zatěžovací stavy použité pro ověření

3. Počáteční imperfekce

Pro výpočet počáteční imperfekce nosníku namáhaného ohybem byly použity čtyři přístupy. Ty jsou označeny A, B, C a D. Přístupy A, B a C používají počáteční imperfekci pro vzpěr ke slabé ose vynásobenou součinitelem k = 0,5; jak je uvedeno v EN 1993-1-1, čl. 5.3.4 (3) [1]. Počáteční imperfekce podle přístupu D je stanovena přímo pro klopení.

Přístup A – podle EN 1993-1-1:2005, tabulka 5.1:

Tab. 1: Návrhová hodnota počáteční imperfekce průhybu e₀/L pro prvky

Přístup B – podle prEN 1993-1-1:2020, druhý návrh [2], čl. 5.3.3.1:

$$\frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta$$

kde:

• e₀ – počáteční imperfekce
• α – součinitel imperfekce v závislosti na příslušné křivce vzpěrné pevnosti podle 1993-1-1, tabulka 6.1 [1]
• $\varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}}$
• f_y – mez kluzu sloupu [MPa]
• β – referenční poměrná imperfekce průhybu podle tabulky 2
• L – délka prvku

Tab. 2: Referenční poměrná imperfekce průhybu

Přístup C – metoda EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) podle EN 1993-1-1:2005, čl. 5.3.2 (11) [1]:

$$e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

kde

• e₀ – počáteční imperfekce
• α – součinitel imperfekce v závislosti na příslušné křivce vzpěrné pevnosti podle 1993-1-1, tabulka 6.1 [1]
• $\bar \lambda$  – poměrná štíhlost prvku
• N_Rk – charakteristická únosnost průřezu v normálové síle
• M_Rk – charakteristická momentová únosnost průřezu

Přístup D – podle [3]:

$$e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

kde

• e₀ – počáteční imperfekce
• α_LT – součinitel imperfekce z tabulky 3
• $\bar \lambda_{LT}$ – poměrná štíhlost prvku
• N_Rk – charakteristická únosnost průřezu v normálové síle
• M_Rk – charakteristická momentová únosnost průřezu

Tab. 3: Součinitele imperfekce pro výpočet e₀

Výsledné hodnoty počáteční imperfekce jsou shrnuty v tabulce níže. Je třeba poznamenat, že pro tento průřez a jakost oceli dávají přístupy A a B stejné hodnoty.

Tab. 4: Výsledné hodnoty počáteční imperfekce

4. Analytické řešení

K výpočtu únosnosti nosníku při klopení je použit následující přístup podle EN 1993-1-1, čl. 6.3.2.1 a 6.3.2.2 [1]:

$$\bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}}$$

$$\phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right]$$

$$\chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}}$$

$$M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}}$$

5. Výsledky

Mezní únosnosti (pro počáteční imperfekce A = B, C a D) z aplikace IDEA Member jsou porovnány s analytickými hodnotami pro válcovaný průřez (EN) a také pro jeho reprezentaci bez zaoblení mezi stojinou a pásnicí (Ew). Nakonec jsou uvedeny výsledky ze softwaru ANSYS (A) [4], které používají počáteční imperfekce založené na přístupu C.

Tab. 5: Výsledné hodnoty momentové únosnosti

Graf 1: Výsledné hodnoty momentové únosnosti

Graf 2: Porovnání výsledných momentových únosností

Výsledky GMNIA jsou ve srovnání s řešením podle Eurokódu konzervativní. To je částečně způsobeno modelováním průřezu v aplikaci IDEA Member, tento vliv se pohybuje mezi 5–10 %, jak je patrné z hodnot modrých sloupců v grafu výše.

Při porovnání dvou oranžových sloupců (Member a ANSYS) je zřejmá dobrá shoda s numerickým řešením v ANSYS.

Volba počáteční imperfekce hraje zásadní roli ve výsledné únosnosti. Při použití počátečních imperfekcí A nebo B jsou výsledné momentové únosnosti o 10–30 % nižší ve srovnání s Eurokódem. Metody C a D jsou pouze mírně konzervativní (< 10 %) ve srovnání s analytickým řešením podle Eurokódu pro skutečný válcovaný průřez. Jsou však velmi blízké očekávané hodnotě vypočtené analyticky pro průřez bez zaoblení mezi stojinou a pásnicí.

Obr. 2: Deformovaný tvar při mezní únosnosti a plastické přetvoření modelu B_4

6. Literatura a odkazy

[1] EN 1993-1-1: Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, druhý návrh, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.