Vysvětlení CSFM

V praxi se pro návrh oblastí diskontinuit ve vyztužených a předpjatých betonových konstrukcích standardně používají Příhradové analogie (S&T) a Tlaková pole. Compatible Stress Fields Method (CSFM) byla vyvinuta rozšířením těchto klasických teorií, což umožňuje vysoký stupeň automatizace. Metoda je současně v souladu s návrhovou normou. I přes svou jednoduchost poskytuje metoda velmi realistický popis odezvy betonové konstrukce jak v mezním stavu únosnosti (MSÚ), tak v mezním stavu použitelnosti (MSP). CSFM je implementován v IDEA StatiCa Detail. 

Obr. 1  a) Stěna s otvory b) Smyková stěna c) Nosník s ozubem na konci a otvory d) Mostní pilíř e) Mostní diafragma

Standardní postupy pro navrhování průřezů betonových konstrukcí jsou použitelné v částech, kde platí tzv. Bernoulliho-Navieriho hypotéza o zachování rovinnosti průřezu po přetvoření (oblasti B). Místa, kde hypotéza neplatí, se nazývají oblasti diskontinuit (oblasti D). Patří sem části konstrukcí, kde se vnáší koncentrované zatížení nebo kde dochází k náhlé změně průřezu. Jako jsou koncové ozuby nosníků (obr. 1c),  (obr. 1a, 1b) nebo krátké konzoly. Také stěnové nosníky a stěny s otvory (obr. 1a, 1b). Z oblasti mostního stavitelství jsou to pak např. hlavice pilířů (obr. 1d), nadpodporové příčníky (obr. 1e), deviátory atd.

1. Metoda náhradní příhradoviny

Základním předpokladem při definování S&T modelu je, že je zanedbána pevnost betonu v tahu. Jednoduchý model příhradového nosníku se skládá z prvků působících v tlaku a tahu, které představují chování v MSÚ. Obecně se nejedná o složitý problém a definování základního S&T modelu např. koncové ozubu prefa nosníku (obr. 2a) by nemělo být pro zkušeného inženýra problém. I pro tento základní úkol však může být správné posouzení modelu v souladu s návrhovou normou zdlouhavým, manuálním a iterativním procesem.

Obr. 2 a) Model S&T 1 b) Model S&T 2 c) Model S&T

Je potřeba posoudit táhla, uzlové oblasti, příčné tahy v tlakových diagonálách atd. A pokud model nevyhoví je třeba zvolit novou geometrii příhradoviny. Což velmi často vede k tomu, že statik si pouze jednou zvolí geometrii S&T modelu a posoudí jen táhlo z betonářské výztuže. Může se tak dopustit podstatné chyby. Volba příhradového modelu je vždy věcí zkušenosti a u složitějších konstrukčních detailů nemusí být volba příhrady, která bude dostatečně odpovídat skutečnému chování konstrukce tak snadná jako u našeho příkladu. Příhradová analogie je také metoda pouze pro posouzení mezních stavů únosnosti a neumožňuje provést posouzení mezních stavů použitelnosti (deformace, trhliny), což jsou zejména u náročných konstrukcí rozhodující kritéria, protože mají přímý dopad na životnost konstrukce.

2. Compatible Stress Field Method - CSFM

CSFM je moderní nelineární metoda pro analýzu D-oblastí a prvků, jejichž působení lze zjednodušit na rovinnou napjatost, tedy 2D model. Stále se ale vychází ze základního a bezpečného předpokladu norem: beton v tahu nepůsobí a veškeré tahy musí přenést výztuž. Compatible Stress Field Method (CSFM) je evolucí metod příhradové analogie a tlakových polí, přičemž odstraňuje jejich hlavní, výše zmíněné nevýhody: nejistoty ve volbě modelu, obtížnou automatizovatelnost a nemožnost posoudit mezní stavy použitelnosti.

Obr. 3 Princip CSFM: a) lineární, pružné napětí rovinného elementu; b) hlavní napětí; c)  napětí při řešení pomocí CSFM

Princip CSFM lze vysvětlit na napjatosti základního rovinného elementu železobetonové konstrukce. Na Obr. 3a je napjatost elementu, jak ji známe ze všech učebnic pružnosti a pevnosti. Jdná se o napětí v jednom bodě konstrukce, získaná například lineární, pružnou analýzou pomocí metody konečných prvků (MKP). Na element působí horizontální příčný tlak σ_x, vertikální příčný tlak σ_y, a smykové napětí τ_xy. Z těchto napětí lze stanovit tzv. hlavní napětí a jejich sklon θ (Obr. 3b). Element je pak namáhán hlavním tahovým napětím σ₁ a hlavním tlakovým napětím σ₂.

Jak bude vypadat napjatost stejného elementu analyzovaného pomocí CSFM? Napjatost je znázorněna na obrázku 3c. Ve směru hlavních tlakových napětí σ₂ působí tlačený beton a vznikne tlakové pole s napětím σ_c2. Jak již bylo zmíněno výše, základním předpokladem je, že beton v tahu nepůsobí. Příčná hlavní tahová napětí σ₁ tedy beton nepřenese, kolmo na jejich směr vznikne trhlina. Napětí σ_c1r tedy musí být rovno nule. Aby nedošlo k rozpadu našeho 2D elementu, musí veškerá tahová napětí přenést výztuž (naznačena modře na obr. 3c), která musí být součástí výpočtového modelu. 

Provede-li se tato analýza napjatosti pomocí CSFM spojitě po celé řešené 2D oblasti, je výsledkem spojité tlakové pole a pole tlakových a tahových napětí ve výztuži. Zjednodušená grafická reprezentace CSFM napěťového pole pro zhlaví našeho pilíře je uvedena na obrázku 7a. Kromě míry využití betonu a výztuže jsou na obrázku naznačeny také po oblasti měnící se směry vypočtených talkových napětí σ_c2.

Obr. 4 Celkové výsledky z IDEA StatiCa Detail 

Analýza detailu nebo konstrukce pomocí CSFM je založena na metodě konečných prvků. Beton je modelovaný pomocí 2D stěnového elementu a výztuž pomocí 1D prutových prvků (Obr. 6). Analýza se neprovádí v jednom kroku, ale je zřejmé, že se jedná o nelineární úlohu (beton v tahu nepůsobí). Zatížení se během výpočtu aplikuje po přírůstcích a řešení nelineárního systému rovnic se hledá pomocí Newton-Raphsonovy metody. Fiktivní rozetřené trhliny (ε1 je průměrná hodnota) se „tvoří“ kolmo na směr hlavních tahů, který se může během nelineárního výpočtu měnit, jak se element „postupně potrhává“ od jednotlivých přírůstků zatížení. Jinými slovy shrnuto, v CSFM se uvažuje fiktivní beznapěťová rotující trhlina.

Výsledkem MKP řešení pomocí CSFM je kompatibilní napěťové pole (tzn. beton se v modelu nerozpadá na jednotlivé samostatně působící vzpěry) a pole poměrných přetvoření, které jsou spojité po celé řešené 2D oblasti. To je velká výhoda oproti klasickým S&T přístupům a umožňuje to automatizovat a zpřesnit výpočetní model, jak bude popsáno v následující odstavcích.

Obr. 5 Pracovní diagram betonu se zohledněním limitního napětí vlivem příčných tahů (tlakové změkčení, pro ε1>0 a ε2<0)

Jednoduchá formulace CSFM umožňuje použít standardní jednoosý parabolicko-rektangulární pracovní diagram pro beton v tlaku z návrhové normy. Jak je známo, tlaková pevnost betonu klesá, pokud je beton porušený tahovými trhlinami (Obr. 4). Tento efekt tzv. tlakového změkčení (compression softening) je v metodě zahrnut automatickým zohledněním tzv. efektivní tlakové pevnosti betonu. Na základě úrovně příčných tahových přetvoření ε₁ se stanoví redukční faktor k_c a upraví se pracovní diagram betonu (Obr. 4). Díky tomu, že je známo pole poměrných přetvoření po celé konstrukci, může být efektivní pevnost betonu v tlaku vypočítána automaticky v jednotlivých částech v závislosti na místní úrovni příčných tahových přetvoření ε₁.

Obr. 6 Princip tahového zpevnění

Dále se v CSFM uvažuje ztužující účinek taženého betonu mezi trhlinami na výztuž – tahové zpevnění (tension stiffening). Ve výpočtovém modelu se pracuje s průměrným poměrným přetvořením výztuže ε_m a upravuje se pracovní diagram výztuže (Obr. 5). To umožňuje realisticky vystihnout tuhost železobetonové konstrukce porušené trhlinami. Stále však platí, že pevnost betonu v tahu se nepodílí na únosnosti. Pro posouzení je rozhodující maximální napětí ve výztuži σsr v trhlinách (Obr. 6).

CSFM používá běžné jednoosé materiálové modely (pracovní diagramy), které jsou definované v návrhových normách. Pro posouzení MSU se potom používá standardní normový formát spolehlivosti – metoda dílčích součinitelů spolehlivosti. Metoda je tak díky své jednoduchosti vhodná pro inženýrskou praxi a je v souladu s návrhovou normou. I když se jedná o nelineární MKP analýzu, nemusí statik do výpočtu zadávat dodatečné materiálové vlastnosti a charakteristiky betonu, které ve stádiu návrhu ani nemůže mít k dispozici a které jsou nutné např. pro MKP nelineární analýzy založené na lomové mechanice. Jak již bylo naznačeno, velkou výhodou analýzy pomocí CSFM kromě mezních stavů únosnosti rovněž schopnost posoudit mezní stavy použitelnosti: průhyby, omezení napětí a zejména šířka trhlin.

Obr. 7 MKP model: konečné prvky výztuže připojené k síti betonových prvků pomocí MPC vazeb a koncových prvků.

MKP model v CSFM se skládá z několika typů konečných prvků (Obr. 7):

• 1-D prvek s osovou tuhostí modelující výztuž
• 2-D izoparametrický prvek modelující beton
• Koncové pružiny pro model kotvení výztuže s koncovou úpravou
• Speciální 2D prvek pro model soudržnosti mezi výztuží a betonem
• Tuhé a interpolační vazby (Multi-Point Constraints, MPC) mezi prvky soudržnosti a betonem

Pokud navržená výztuž zabraňuje křehkému porušení prvku, bylo prokázáno že CSFM dává navzdory jednoduchosti formulace velmi dobré předpovědi odezvy a mezní únosnosti konstrukce. Jinými slovy metoda není vhodná např. pro posouzení nosníků bez příčné smykové výztuže, které vykazují potenciálně křehké chování. Ověření metody včetně experimentů je uvedeno v [1]. Podrobnější popis metody je nad rámec článku a lze jej nalézt také v Teoretických základech.

Je zřejmé, že principy CSFM jsou obecné a její použití tak není omezeno jen na D-oblasti, ale lze ji využít pro modelování celých prvků nebo např. prefa dílců a tam kde lze prvek zjednodušit na rovinný 2D model. Metoda a její implementace v software byly také rozšířeny o možnost zadat předem a dodatečně předpjatou výztuž.

3. Příklad posouzení zhlaví piliře

Praktické využití metody CSFM je ukázáno na posouzení hlavice mostního pilíře z obrázku 1. Jedná se o druhý pilíř spojitého mostu o třech polích s rozpětími 30.0 m, 42.0 m a 30.0 m. Hlavice ŽB pilíře je navržena z betonu C40/50, její tloušťka (v podélném směru mostu) je 2,0 m.

Obrázek 7. Hlavice pilíře: a) souhrnné posouzení; b) napětí ve výztuži v MSU; c) napětí v betonu v MSU, d) šířka trhlin v MSP

V horní části hlavice pilíře bylo nejprve navrženo příčné táhlo z výztuže B500 20xϕ28+20xϕ25 – horní čtyři vrstvy. Na obrázku 7a je uvedeno souhrnné posouzení v mezním stavu únosnosti se zobrazením tlakových napětí v betonu, směry tlakových napětí a napětím ve výztuži. Detailnější průběhy napětí v betonu a ve výztuži jsou potom dokumentovány na obrázcích 7b a 7c. Výztuž příčného táhla je těsně pod mezí kluzu, rovněž napětí v betonu (a poměrná přetvoření) jsou v MSÚ vyhovující. Z výsledku výpočtu šířky trhlin (Obr. 7d) je však zřejmé že v MSP návrh nevyhovuje: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Pro splnění mezní šířky trhlin je nutné zvětšit výztuž příčného táhla na 20xϕ32+20xϕ28. V případě w_lim = 0,2 mm (např. pilíř v blízkosti pozemní komunikace generující slanou mlhu, stupeň vlivu prostředí XF2) bylo by nutné výztuž příčného táhla zvýšit dokonce na 24xϕ32+24xϕ28.

Závěr

CSFM je vhodná pro inženýrskou praxi díky tomu, že využívá jednoduché materiálové modely definované v návrhové normě. Umožňuje vedle mezních stavů únosnosti rovněž provádět posouzení mezních stavů použitelnosti, což bylo dříve např. s použitím S&T modelů těžko představitelné. Díky implementaci metody v programu IDAStatiCa Detail je pak možné realisticky postihnout odezvu konstrukce a navrhovat a posuzovat oblasti diskontinuit, ale i větší celky efektivně a bezpečně.

CSFM byla vyvinuta zejména díky práci profesora Waltera Kaufmanna, vedoucího Chair of Structural Engineering, Swiss Federal Institute of Technology (ETH) Zurich.  Se svým týmem také provedli verifikaci její softwarové implementace v IDEA StatiCa Detail.

Literatura

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMAN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404